[math theory]Large Deviations

good math, bad math 是g9老大介绍的blog
今天一看到这片帖子，我马上就想到了“黑天鹅理论”，最早看到是在思维的乐趣的这里，当时就想长期资本公司也可以用这个来解释，以及后来的不凋花的事件。
不过，看起来虽然很爽，终究觉得有点玄而又玄，好像是社会学上面一个独特的理论一样。现在好了，我们有了数学模型，一切都是摸得到了。而且看起来这个领域虽然是最近才发展起来的，不过发展的却是很快。看，这不是得奖了么

好了，废话少说，看看这篇blog都说了什么

主要观点

Large deviations theory asks a very different question. It asks: what about the unlikely outcomes? Given information about probability distributions, what can we say about outcomes that are significantly different from the expectation? In particular, what can we say about how the probability of outcomes vary as they get increasingly distant from the expectation?

Large deviations theory问了这样几个不同的问题：那些不大可能的结果是怎样的？给定可能的分布的信息，对于那些显著偏离预期的结果，我们知道什么？特别是，当结果逐渐偏离期望值的时候，他们是如何变化的？（有点拗，不如看原文）

提出背景

这些问题为什么重要呢？这个领域有一名工作在保险公司的数学家创立。正常来说，保险公司的保费是根据过去年份的统计数据为 基数来设定的。例如，保险公司在预测发生洪水时它需要支付多少钱时，它的依据是在过去的一段年限当中，他必须支付多少来抵消洪水带来的损害。但是，正如从 卡特利娜飓风中学到的，有几年是戏剧性的偏离正常值-这样保险公司在这几年当中就会支出比正常年份要多得多的代价。
所以对于一个保险公司来说，他们不仅要知道对于某一个给定年份他们需要支付的数额的期望值，更要紧的是知道，那些造成达到正常值一个甚或两个数量级损失的特异的年份的概率。

Prof. Varadhan的工作

Prof. Varadhan发展了被称作Large Deviation Priciple的理论，Large Deviation Priciple提供了解出这些巨大偏移的概率的方法。就想我说的，这是无法想象的困难的工作。Varadhan的工作是做非线性分析，偏微分方程以及其他半打特别困难的数学工具，把他们糅合到一起发展出了large deviation概率的完备理论。可能是Bayes以来概率论上最重大的突破了。
Varadhan的工作除了应用于金融领域外，对于现在 物理学也是一个巨大的贡献。在单个基本粒子行为概率可被预测的情况下，这些粒子群体的活动通过large deviation概率有着很好的解释。特别是，在热动力学上，我们只能得到单独粒子行为概率的描述；不过我们想知道的却是这些粒子作为一个巨大集合体的 聚集在一起的描述。Prof.Varadhan正在和物理学家合作把他的理论应用与热动力学。

感想

• 在这里我看到了一个基本的数学技巧，把变化变成变化率。aha，这不是求导数么？
• 和The black Swan这本书不一样，社会学家提出问题，描述想象。数学家确是找出模型，运用数学工具。也许结果不一定对，也许会带来对纯粹理性的盲目信任。但是相比之下，我还是更愿意信仰科学